勾股定理解答题
作者 : qq_添生我材
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一、 解答题 (共 19 小题)
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如图，已知▱ABCD的三个顶点A(n，0)、B(m，0)、D(0，2n)(m＞n＞0)，作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D
(1)若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；
(2)若点B1恰好落在y轴上，试求
的值．
如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，过点D作DE∥AB交圆O于点E
(1)证明点C在圆O上；
(2)求tan∠CDE的值；
(3)求圆心O到弦ED的距离．
P、Q、R、S四个小球分别从正方形ABCD的四个定点A、B、C、D点出发，以同样的速度分别沿AB、B
C、CD、DA的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A．
(1)不管滚动多长时间，求证：四边形PQRS为正方形；
(2)连接对角线AC、BD、PR、SQ，你发现四条对角线有何关系？
(3)根据此图，若有四个全等的直角三角形，你能否拼成一个正方形？若这个三角形直角边为a、b，斜边为c，你能否根据面积推导出勾股定理？
『问题情境』勾股定理是一条古老的数学定理，它有多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其它星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
『定理表述』请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
『尝试证明』以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．
『知识拓展』利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜．其证明步骤如下：
∵BC＝a＋b，AD＝ ，
又在直角梯形ABCD中，BC AD(填大小关系)，
即 ．
∴＜．
下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中(1)(2)(3)是否为正方形？为什么？
②图中(1)(2)(3)的面积分别是多少？
③图中(1)(2)的面积之和是多少？
④图中(1)(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系？为什么？
由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
如图，梯形ABCD是由三个直角三角形拼成的，各直角边的长度如图所示。
(1)请你运用两种方法计算梯形ABCD的面积；
(2)根据(1)的计算，探索
三者之间的关系，并用式子表示出来。
如图：用两个边长为a、b、c的直角三角形和一个边长为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，试用不同的方法计算这个图形的面积。(本题6分)
(1)你能得到关于a，b，c的一个等式吗？写出你的过程。
(2)请用一句话描述你的发现：在直角三角形中，
(3)请应用你学到的新知识解决下面这个问题：将一根长为30cm的筷子置于底面直径为5cm，高12cm的圆柱形的空水杯中，则露出杯子外面的长度最短是____cm ,最长是____ cm.如果把圆柱体换成一个长，宽，高分别为6,8,24的无盖长方体盒子。那么这根筷子露出盒子外面的长度最短是____cm
如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形；
(2)用这个图形证明勾股定理；
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请在图(3)中画出拼后的示意图(无需证明)．
如图，在网格中有一个四边形图案．
(1)请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(-1，3)，B(-3，-1)，C(-3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
(1)请写出旋转中心的坐标是______，旋转角是______度；
(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
(3)设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2．
如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．图(2)是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(3)．
如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：
(1)请你画出直角梯形EDBC绕EC中点O顺时针方向旋转180°的图案，你会得到一个美丽的图案．(阴影部分不要涂错)．
(2)若网格中每个小正方形边长为单位1，旋转后A、B、D的对应点为A′、B′、D′，求四边形ACA′E的面积？
(3)根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说出这个著名的结论吗？若能，请你写出这个结论．
(9-1)、
(9+1)与
(25-1)、
(25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
的半圆
，过直径
上一点
，作
交半圆于点
，且
，试求
的长．
的正方形中，有四个斜边为
，直角边为
的全等直角三角形，你能利用这个图说明勾股定理吗？写出理由。
，其证明步骤如下：
ab)，
ab)由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
x+3，l2：y=-3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是
．求点M的坐标．