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2025学年浙江省衢州市五校联盟预测卷

一.填空题 (共 50 小题)

1 . 若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1，1]时，f(x)=|x|，函数y=g(x)是偶函数，且x∈(0，+∞)时，g(x)=|log3x|．则函数y=f(x)图象与函y=g(x)图象的交点个数为______

【答案解析】∵函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)，
∴它是周期函数，周期是2，
∵函数y=g(x)是偶函数
∴它的图象关于y轴对称．
画图：
由图知，共6个交点．
故填：6．

2 . 已知函数，函数-a+1(a＞0)，若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f(x₁)=g(x₂)成立，则实数a的取值范围是    ．

【答案解析】由，得：，
当x∈时，f^′(x)＞0，所以函数f(x)在上为增函数，所以f(x)∈，
当x∈时，函数f(x)为减函数，f(x)∈，所以在[0，1]上f(x)∈，
函数-a+1，当x∈[0，1]时，，
所以
若存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f(x₁)=g(x₂)成立，说明函数函数g(x)的最大值与最小值中至少一个在中，
所以或，解得：，
所以实数a的取值范围是．
故答案为．
根据给出的函数f(x)的解析式求出其值域为，然后求出函数g(x)在x∈[0，1]上的值域，由存在x₁、x₂∈[0，1]，使得f(x₁)=g(x₂)成立，说明函数g(x)的最值中至少一个在范围内，最后列式求解a的范围．

3 . 对于幂函数，若0＜x₁＜x₂，则，大小关系是    ．

【答案解析】由于幂函数在(0，+∞)上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x₁＜x₂ 时，应有 ＞，
故答案为  ＞．
根据幂函数在(0，+∞)上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x₁＜x₂ 时，应有 ＞，由此可得结论．

4 . 已知幂函数f(x)=x^a的图象过点，则f(x)在(0，+∞)单调递    ．

【答案解析】∵幂函数f(x)=x^a的图象过点，
∴^a=
解得a=
∵a＞0
∴f(x)在(0，+∞)单调递增
故答案为：增
根据已知幂函数f(x)=x^a的图象过点求出函数的解析式，进而根据幂函数的单调性，得到答案．

5 . 以下是关于函数的四个命题：
              ①的图像关于轴对称；
                ②在区间上单调递减；
                ③在处取得极小值，在处取得极大值；
                ④的有最大值，无最小值；
              ⑤若方程至少有三个不同的实根，则实数的取值范围是。
其中为真命题的是____     (请填写你认为是真命题的序号)．

【答案解析】①⑤

6 . 已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是      .

【答案解析】

7 . 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是______(填序号)． 

【答案解析】①

8 . 已知函数与函数g(x)的图象关于y=x对称，
(1)若g(a)g(b)=2，且a＜0，b＜0，则的最大值为   
(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2-x)=f(x+2)，且当x∈[-2，0]时，f(x)=g(x)-1，若关于x的方程f(x)-=0(a＞1)在区间(-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是    ．

【答案解析】(1)根据题意，g(x)=()^x=2^-x，
若g(a)g(b)=2，则有2^-(a+b)=2，即a+b=-1，
则=-[(-a)+(-b)][+]=-[5++]，
又由a＜0，b＜0，则＞0且＞0，故+≥4，
则=-[5++]≤-9，
即的最大值为-9；
(2)对于任意的x∈R，都有f(x-2)=f(2+x)，∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f(x)=()^x-1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，
若在区间(-2，6]内关于x的方程f(x)-log_a(x+2)=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f(x)与y=-log_a(x+2)在区间(-2，6]上有三个不同的交点，
又f(-2)=f(2)=3，分析可得有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：＜a＜2，
则a的取值范围是(，2)
故答案为(1)：-9；(，2)．
(1)根据题意，由反函数的定义以及对数函数、指数函数的性质可得g(x)=()^x=2^-x，进而结合题意可得2^-(a+b)=2，即a+b=-1，对变形可得其等于-[5++]，由基本不等式的性质可得+≥4，代入=-[5++]可得其最大值，即可得答案．
(2)根据题意，分析可得函数f(x)是一个周期函数，且周期为4，将方程f(x)-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y=-log_a^x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

9 . 函数的图象为，如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．      ①图象关于直线对称；
②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．

【答案解析】①②③

10 . 设函数，给出下列四个命题：
①函数f(|x|)为偶函数；
②若|f(a)|=|f(b)|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1；
③函数f(-x²+2x)在(1，+∞)上为单调增函数；
④若0＜a＜1，则|f(1+a)|＜|f(1-a)|；
则正确命题的序号是    ．

【答案解析】∵
∴①函数f(|x|)为偶函数，此命题正确，因为此函数是一个偶函数，命题是正确命题；
②若|f(a)|=|f(b)|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，此命题是正确命题，因为|f(a)|=|f(b)|其中a＞0，b＞0，a≠b，故有f(a)+f(b)=0，即，故有ab=1；
③函数f(-x²+2x)的定义域是(0，2)，故复合函数f(-x²+2x)在(1，+∞)上为单调增函数错；
④若0＜a＜1，则|f(1+a)|＜|f(1-a)|，此命题，因为由题意f(1+a)＜0，f(1-a)＞0，若有|f(1+a)|＜|f(1-a)|成立，则f(1+a)+f(1-a)＞0，即f(1-a²)＞0，即1-a²∈(0，1)显然成立；
综上①②④都是正确命题
故答案为①②④
由题设条件函数，根据对数的函数的性质对四个命题进行判断，得出正误
①函数f(|x|)为偶函数，由偶函数的定义进行判断正误；
②若|f(a)|=|f(b)|其中a＞0，b＞0，a≠b，则ab=1，由对数的性质进行推断即可判断此命题的正误；
③函数f(-x²+2x)在(1，+∞)上为单调增函数，由复合函数的单调性易判断；
④若0＜a＜1，则|f(1+a)|＜|f(1-a)|，对两个数作差比较出它们的大小，得出正误；

11 . 将函数f₁(x)=3^x的图象向右平移2个单位后得到f₂(x)的图象，再作与f₂(x)关于y轴对称的f₃(x)的图象，则f₃(x)的函数解析式为f₃(x)=    ．

【答案解析】∵将函数f₁(x)=3^x的图象水平向右平移2个单位后得到：
f₂(x)=3^x-2
再关于y轴对称，将原函数式中的y不变，x换成-x，得到函数：y=3^-x-2
即：f₃(x)=3^-x-2
故答案为：3^-x-2
先写出将函数f₁(x)=3^x的图象水平向右平移2个单位后得到f₂(x)的解析式，再根据：“关于y轴对称”写出f₃(x)的函数解析式即可．

12 . 定义：对于一个函数f(x)(x∈D)，若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D时，kx+m₁≤f(x)≤kx+m₂恒成立，则称函数f(x)在D内有一个宽度为d的通道．下列函数：①f(x)=e^-x，②f(x)=sinx，③，④f(x)=x²，其中在[1，+∞)有一个宽度为1的通道的函数的序号是    ．

【答案解析】对于①，当x∈[1，+∞)时，，故在[1，+∞)有一个宽度为1的通道，两条直线可取y=0，y=1；
对于②，当x∈[1，+∞)时，-1≤sinx≤1，故在[1，+∞)不存在一个宽度为1的通道；
对于③，当x∈[1，+∞)时，，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为，满足在[1，+∞)有一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞)时，f(x)∈[1，+∞)，故在[1，+∞)不存在一个宽度为1的通道；
故答案为：①③
对于①，当x∈[1，+∞)时，确定函数的值域，，故可知两条直线可取y=0，y=1；对于②，当x∈[1，+∞)时，-1≤sinx≤1；对于③，当x∈[1，+∞)时，，表示双曲线x²-y²=1在第一象限的部分，双曲线的渐近线为y=x，故可取另一直线为，满足在[1，+∞)有一个宽度为1的通道；
对于④，当x∈[1，+∞)时，f(x)∈[1，+∞)，故可得结论．

13 . 我们把具有以下性质的函数f(x)称为“好函数”：对于在f(x)定义域内的任意三个数a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f(a)，f(b)，f(c)也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数：
①
②
③f(x)=e^x，x∈(0，1)
④f(x)=sinx，x∈(0，π)．
其中是“好函数”的序号有    ．

【答案解析】任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，不妨设c是最大边，且a+b＞c
①，∵，∴函数f(x)是“好函数”；
②f(x)=1-x，∵f(a)+f(b)-f(c)=1+c-(a+b)，a，b，c∈(0，)，∴f(a)+f(b)-f(c)＞0，∴f(a)+f(b)＞f(c)，∴函数f(x)是“好函数”；
③f(x)=e^x，，若，即e^c＜4，∵c∈(0，1)，∴结论成立，∴函数f(x)是“好函数”；
④f(x)=sinx，若f(a)+f(b)=sina+sinb=2sincos＞sinc，则∵x∈(0，π)，-π＜a-b＜c，∴结论不一定成立，∴函数f(x)不是“好函数”；
故答案为：①②③
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，
①，可得函数f(x)是“好函数”；
②作差，验证f(a)+f(b)＞f(c)，可得函数f(x)是“好函数”；
③，若，即e^c＜4，由c∈(0，1)，可得结论成立；
④若f(a)+f(b)=sina+sinb=2sincos＞sinc，结论不一定成立．

14 . 已知函数f(x)=，a∈R．若对于任意的x∈N，f (x)≥4恒成立，则a的取值范围是    ．

【答案解析】∵函数f (x)=，且f (x)≥4，对于任意的x∈N^*恒成立
即a≥==
令g(x)=，则g(x)≤6-4，当且仅当x=2-1时g(x)取最大值
又∵x∈N^*，
∴当x=2时，g(x)取最大值
故a≥
即a的取值范围是[，+∞)
故答案为：[，+∞)
根据已知中函数f (x)=，a∈R．若对于任意的x∈N^*，f (x)≥4恒成立，我们可将其转化为a≥恒成立，进而将其转化为a≥g(x)_max=，解不等式可得a的取值范围．

15 . 设函数f(x)的定义域为D，令M={k|f(x)≤k恒成立，x∈D}，N={k|f(x)≥k恒成立，x∈D}，已知，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是    ．

【答案解析】由题意，x∈[0，2]时，，∴
令，则g′(x)=x²-x=x(x-1)
∵x∈[0，2]，∴函数在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
∴x=1时，g(x)_min=-
∵g(0)=0，g(2)=
∴g(x)_max=
∴2-a≤-且4-a≥
∴
故答案为：
由题意，x∈[0，2]时，，确定的最值，即可求得a的范围．

16 . 定义一：对于一个函数f(x)(x∈D)，若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D时，kx+m₁≤f(x)≤kx+m₂ 恒成立，则称函数f(x)在D内有一个宽度为d的通道．
定义二：若一个函数f(x)，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f(x)在[x，+∞)内有一个宽度为ɛ的通道，则称f(x)在正无穷处有永恒通道．下列函数：
①f(x)=lnx，②f(x)=，③f(x)=，④f(x)=x²，⑤f(x)=e^-x，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是    ．

【答案解析】①f(x)=lnx，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x，使得函数f(x)在[x，+∞)内有一个宽度为ɛ的通道，故f(x)在正无穷处无永恒通道；
②f(x)=，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f(x)在[x，+∞)内有一个宽度为ɛ的通道，故f(x)在正无穷处有永恒通道；
③f(x)=，随着x的增大，函数值也在增大，有两条渐近线y=±x，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f(x)在[x，+∞)内有一个宽度为ɛ的通道，故f(x)在正无穷处有永恒通道；
④f(x)=x²，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x，使得函数f(x)在[x，+∞)内有一个宽度为ɛ的通道，故f(x)在正无穷处无永恒通道；
⑤f(x)=e^-x，随着x的增大，函数值趋近于0，趋近于x轴，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f(x)在[x，+∞)内有一个宽度为ɛ的通道，故f(x)在正无穷处有永恒通道．
故答案为：②③⑤
根据定义一与定义二，对所给函数进行逐一进行判定，解题的关键看函数的单调性和是否有渐近线等．

17 . 已知函数①f(x)=3lnx；②f(x)=3e^cosx；③f(x)=3e^x；④f(x)=3cosx．其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x₁都存在唯一个个自变量x₂，使成立的函数序号是    ．

【答案解析】根据题意可知：
①f(x)=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；
②f(x)=3e^cosx，任一自变量f(x)有倒数，但所取x】的值不唯一，不成立；
③f(x)=3e^x，任意一个自变量，函数都有倒数，成立；
④f(x)=3cosx，当x=2kπ+时，函数没有倒数，不成立．
所以成立的函数序号为③
故答案为③
根据题意可知其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x₁都存在唯一个个自变量x₂，使即要判断对于任意一个自变量x，函数都有倒数，所以判断函数恒有倒数即成立．

18 . ．
①极坐标系中，极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于    ．
②不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

【答案解析】①直线ρcosθ+ρsinθ=2的极坐标方程为：
x+y-2=0，
∴极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于：
．
故答案为：
②令y=|x+3|-|x-1|
当x＞1时，y=x+3-x+1=4
当x＜-3时，y=-x-3+x-1=-4
当-3≤x≤1时，y=x+3+x-1=2x+2    所以-4≤y≤4
所以要使得不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立
只要a²-3a≥4即可
∴a≤-1或a≥4
故答案为：(-∞，-1]∪[4，+∞)
①先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将直线ρcosθ+ρsinθ=2的化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出极点到直线的距离即可．
②先去绝对值符号确定|x+3|-|x-1|的取值范围，然后让a²-3a大于它的最大值即可．

19 . 若函数f(x)满足∃m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f(x+m)=f(x)+f(m)恒成立，则称f(x)为m函数，现给出下列函数：
①； ②y=2x；③y=sinx；④y=1nx
其中为m函数的序号是    ．(把你认为所有正确的序号都填上)

【答案解析】①若，则由f(x+m)=f(x)+f(m)得，即，
所以不存在常数m使f(x+m)=f(x)+f(m)成立，所以①不是m函数．
②若f(x)=2x，由f(x+m)=f(x)+f(m)得，2(x+m)=2x+2m，此时恒成立，所以②y=2x是m函数．
③若f(x)=sinx，由f(x+m)=f(x)+f(m)得sin(x+m)=sinx+sinm，所以当m=π时，f(x+m)=f(x)+f(m)成立，所以③y=sinx是m函数．
④若f(x)=1nx，则由f(x+m)=f(x)+f(m)得ln(x+m)=lnx+lnm，即ln(x+m)=lnmx，所以x+m=mx，要使x+m=mx成立则有，所以方程无解，所以④y=1nx不是m函数．所以为m函数的序号是②③．
故答案为：②③
根据m函数定义逐项判断即可．

20 . 若f(x)是定义在R上的函数，满足对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)成立，且f(2)=3，则f(8)=    ．

【答案解析】由题意可知：对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)成立，
所以x=y=2，可知f(4)=f(2+2)=f(2)•f(2)，所以f(4)=9；
令x=y=4，可知f(8)=f(4+4)=f(4)•f(4)=9²=81．
故答案为：81．
本题考查的是抽象函数及其应用问题．在解答时，可充分利用条件：对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(y)成立，中的任意性，对x、y取特值进行计算即可．

21 . 已知函数y=f(n)，满足f(1)=2，且f(n+1)=3f(n)，n∈N₊，则 f(3)的值为    ．

【答案解析】∵f(1)=2，且f(n+1)=3f(n)，n∈N₊，
∴f(2)=3f(1)=6，
f(3)=f(2+1)=3f(2)=18，
故答案为 18．
由f(1)=2，且f(n+1)=3f(n)，n∈N₊，先求出f(2)，再利用f(3)=f(2+1)=3f(2)可求 f(3)的值．

22 . y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，又y=f(x+2)与y=f^-1(x-1)互为反函数，则f^-1(2007)-f^-1(1)=    ．

【答案解析】y=f(x+2)
x+2=f^-1(y)
∴x=f^-1(y)-2
因此y=f(x+2)的反函数为y=f^-1(x)-2
因此f^-1(x-1)=f^-1(x)-2
f^-1(x)=f^-1(x-1)+2对所有x恒成立
f^-1(2007)-f^-1(1)=2×(2007-1)=4012
故答案为：4012
求出y=f(x+2)的反函数，根据已知列出方程得到f^-1(x)=f^-1(x-1)+2，通过迭代求出f^-1(2009)-f^-1(1)的值．

23 . 函数f(x)的定义域为D，若对任意的x₁、x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)≤f(x₂)，则称函数f(x)在D上为“非减函数”．设函数g(x)在[0，1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：
(1)g(0)=0；
(2)；
(3)g(1-x)=1-g(x)，
则g(1)=    、=    ．

【答案解析】①在(3)中令x=0得g(1)=1-g(0)=1，∴g(1)=1；
②在(2)中令x=1得，在(3)中令得，故，
∵，∴，故．
故答案分别为1，．
①在(3)中令x=0即可得出g(1)；②在(2)中令x=1得，在(3)中令得，再利用函数g(x)在[0，1]上为“非减函数”即可得出．

24 . 给出下列四个命题：
①已知，则函数g(x)=f(2^x)在(0，1)上有唯一零点；
②对于函数的定义域中任意的x₁、x₂(x₁≠x₂)必有；
③已知f(x)=|2^-x+1-1|，a＜b，f(a)＜f(b)，则必有0＜f(b)＜1；
④已知f(x)、g(x)是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)•g(y)，且f(0)=0，但x≠0时f(x)•g(x)≠0．则函数f(x)、g(x)都是奇函数．
其中正确命题的序号是    ．

【答案解析】∵f(x)+2f()=3x①，
∴2f(x)+f()=②，
②×2-①得：f(x)=-x，
∴g(x)=f(2^x)=-2^x=，由g(x)=0解得x=，
∴函数g(x)=f(2^x)在(0，1)上有唯一零点；①正确；
②对于函数的定义域中任意的x₁、x₂(x₁≠x₂)必有，故②错误；
对于③f(x)=|2^-x+1-1|，
∵a＜b，f(a)＜f(b)，
∴f(x)=|2^-x+1-1|在(a，b)上单调递增，
∴f(x)=1-2^-x+1(2^-x+1-1＜0即x＞1)，
∴b＞1，
∴0＜f(b)=|2^-b+1-1|=1-2^-b+1＜1，故③正确；
对于④，令x=0，有f(-y)+f(y)=0，f(-y)=-f(y)函数f(x)是奇函数，
∵x≠0时，f(x)•g(x)≠0，
∴g(-y)==g(y)，
∴函数g(x)是偶函数，
∵④错误．
综上所述，①③正确．
故答案为：①③．
①通过方程组求得f(x)，从而求得g(x)，由g(x)=0即可判断其正误；
②可借助图形判断其正误；
③可利用f(x)=|2^-x+1-1|在(a，b)上单调递增，判断③；
④分别判断f(x)，g(x)的奇偶性，即可判断④的正误．

25 . 若f(x)满足：
(1)定义域为R；
(2)f(x₁+x₂)=f(x₁)f(x₂)；
(3)f(1)=3；
(4)对任意x₁＜x₂，f(x₁)＜f(x₂)．
则函数f(x)的一个解析式为    ．

【答案解析】根据题意，可取指数函数f(x)=3^x
f(x)满足：
(1)定义域为R；
(2)f(x₁+x₂)===f(x₁)f(x₂)；
(3)f(1)=3¹=3；
(4)对任意x₁＜x₂，f(x₁)＜f(x₂)，即函数为增函数．
故答案为：f(x)=3^x
可取指数函数f(x)=3^x，再验证满足所给的四个性质即可．

26 . 如果函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=1，则=    ．

【答案解析】因为f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=1，
所以f(a+1)=f(a)f(1)=f(a)，
故有=1．
∴=1+1+1+…+1=2010．
故答案为：2010．
先有f(a+b)=f(a)f(b)，且f(1)=1，得到=1，再把所求结论代入即可求出结果．

27 . 设函数y=f(x)在(a，b)上的导函数为f'(x)，f'(x)在(a，b)上的导函数为f''(x)，若在(a，b)上，f''(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知．
(Ⅰ)若f(x)为区间(-1，3)上的“凸函数”，则实数m=   
(Ⅱ)若当实数m满足|m|≤2时，函数f(x)在(a，b)上总为“凸函数”，则b-a的最大值为    ．

【答案解析】由函数 得，f″(x)=x²-mx-3(3分)
(Ⅰ)若f(x)为区间(-1，3)上的“凸函数”，则有f″(x)=x²-mx-3＜0在区间(-1，3)上恒成立，
由二次函数的图象，当且仅当 ，
即 ⇔m=2．(7分)
(Ⅱ)当|m|≤2时，f″(x)=x²-mx-3＜0恒成立⇔当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．(8分)
当x=0时，f″(x)=-3＜0显然成立．(9分)
当x＞0，
∵m的最小值是-2．
∴．
从而解得0＜x＜1(11分)
当x＜0，
∵m的最大值是2，∴，
从而解得-1＜x＜0．(13分)
综上可得-1＜x＜1，从而(b-a)_max=1-(-1)=2(14分)
故答案为：2；2．
(Ⅰ)函数在区间(-1，3)上为“凸函数”，所以f″(x)＜0，即对函数y=f(x)二次求导，转化为不等式问题解决即可；
(Ⅱ)利用函数总为“凸函数”，即f″(x)＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．

28 . 函数f(x)对任意正整数a，b满足条件f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，则=    ．

【答案解析】在f(a+b)=f(a)•f(b)中，令b=1可得，f(a+1)=f(a)•f(1)，即=f(1)，
又由f(1)=2，则=2，
即=2，
=2+2+…+2=2×1006=2012；
故答案为：2012．
根据题意，在f(a+b)=f(a)•f(b)中，令b=1可得，f(a+1)=f(a)•f(1)，可以变形为 =f(1)=2，代入中可得答案．

29 . 设定义在R上的函数f(x)同时满足以下三个条件：①f(x)+f(-x)=0；②f(x+2)=f(x)；③当0＜x＜1时，，则=    ．

【答案解析】∵f(x)+f(-x)=0，
∴f(x)是奇函数，
∵f(x+2)=f(x)，
∴f(x)的周期为2，
∴f()=-f(-)=-f(-+2)=-f()，
∴当x=时，
f()=，
∴f()=-，
故答案为-．
首先判断出函数是奇函数，然后根据f(x+2)=f(x)判断出函数的周期为2，故可知f()=-f(-)=-f(-+2)=-f()，进而可得答案．

30 . 若是奇函数，则a=    ．

【答案解析】函数的定义域为R，且为奇函数，
则 f(0)=a+=0，得a+=0，得 a=-，
检验：若a=-，则f(x)=+=，
又f(-x)==-=-f(x) 为奇函数，符合题意．
故答案为-．
充分不必要条件：若奇函数定义域为R(即x=0有意义)，则f(0)=0．或用定义：f(-x)=f(x)直接求a．

31 . 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且，则f(1)g(0)g(-2)从小到大的顺序为    ．

【答案解析】∵，①
又∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
∴②
由①②解得：，
∴f(1)=-，g(0)=-1，g(-2)=
∴g(0)＜f(1)＜g(-2)
故答案为：g(0)＜f(1)＜g(-2)
先通过f(x)，g(x)的奇偶性来产生另一个方程，再与组成方程组求解函数的解析式，再通过函数值比较．

32 . 函数的图象如下，则a，b，c的大小顺序为    ．

【答案解析】根据图象可知f(1)=1，f(0)=0，f′(1)=0
∴b=0
f′(x)==
∵f′(1)=0∴a(c-1)=0
而f(1)=1=
∴a=2，c=1
∴a＞c＞b
故答案为：a＞c＞b
先根据函数图象得到f(1)=1，f(0)=0，f′(1)=0，建立等式关系，求出a、b、c的值，即可比较它们的大小．

33 . 函数的值域为    ．

【答案解析】令t=，则-1≤t≤-．
∴y=t²-t+5=(t-)²+，-1≤t≤-．
∴y_max=7，y_min=，∴函数的值域为
故答案为：．
根据题意，令t=，利用对数函数的单调性，求出t的范围，转化为二次函数y=t²-t+5在区间，[-1，-]上的最值问题，采用配方法即可求得结果．

34 . 已知集合与集合，若是从到的映射则的值为_________________．　

【答案解析】4

35 . 定义区间，区间在映射所得的对应区间为，若区间的长度比区间的长度大5，则m=        _  ．

【答案解析】5

36 . 已知函数满足：，，则_____

【答案解析】4020。提示：=2，且


=4020

37 . 已知函数,则不等式的解集为_____________．

【答案解析】

38 . 规定满足“”的分段函数叫做“对偶函数”，已知函数是“对偶函数”，则(1)              ；
(2)若对任意正整数都成立，实数的取值范围为        ．

【答案解析】(1)；(2)

39 . 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：
(i)(ii)对任意
那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合：
①
②
③
其中，“保序同构”的集合对的序号是_______。(写出“保序同构”的集合对的序号)。

【答案解析】①②③

40 . 集合中最小整数位        .

【答案解析】
                       
不等式，即，，所以集合，所以最小的整数为。

41 . 下面四个命题：
①函数的图象必经过定点(0,1)；
②已知命题：，则：；
③过点且与直线垂直的直线方程为；
④在区间上随机抽取一个数，则的概率为。
其中所有正确命题的序号是：_____________。

【答案解析】①③
                       
当时，，所以恒过定点，所以①正确；命题的否定为：，所以②错误；直线的斜率为，所以和垂直的直线斜率为，因为直线过点，所以所求直线方程为，即，所以③正确；由得，，所以相应的概率为，所以④错误，所以正确的命题有①③。

42 . 设，集合，则               ．

【答案解析】2

43 . 设A是整数集的一个非空子集，对于，则k是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有     个。

【答案解析】7


                       

44 . 平面点集，用列举法表示
       。

【答案解析】                        

45 . 在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1 的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1 的点的集合是一个圆；
③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线；
其中正确的命题是                。(写出所有正确命题的序号)

【答案解析】①③④

46 . 已知集合，且关于x的方程有唯一实数解，用列举法表示集合为                .  

【答案解析】                        

47 . 集合,如果,那么的取值范围是_____.

【答案解析】
                       

48 . 已知函数f(x)的定义域为R，则下列命题中：
①若f(x-2)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称；②若f(x+2)=-f(x-2)，则函数f(x)的图象关于原点对称；③函数y=f(2+x)与函数y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称；④函数y=f(x-2)与函数y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称．
其中正确的命题序号是          ．

【答案解析】④
解：①不正确．因为f(x-2)的图象是由f(x)的图象向右平移两个单位而得到，结合f(x-2)是偶函数知，f(x)的图象关于x=-2对称，
②由f(x+2)=-f(x-2)变形得f(x+8)=f(x)是周期函数．不能得出函数f(x)的图象关于原点对称，故不正确．

③不正确，因为函数y=f(2+x)是由f(x)向左平移2个单位，函数y=f(2-x)的图象是由f(-x)的图象向右平移2个单位，故两函数的图象仍然关于原点对称．

④如图所示，正确．
故答案为：④

49 . 下列5个判断：
①若f(x)=x²-2ax在[1，+∞)上增函数，则a=1；
②函数y=2^x-1与函数y=log₂(x+1)的图象关于直线y=x对称；
③函数y=In(x²+1)的值域是R；
④函数y=2^|x|的最小值是1；
⑤在同一坐标系中函数y=2^x与y=2^-x的图象关于y轴对称．
其中正确的是           ．

【答案解析】②④⑤
解：①若f(x)=x²-2ax在[1，+∞)上增函数，则a≤1；不正确．
②解函数y=2^x-1的反函数为y=log₂(x+1)，所以其图象关于直线y=x对称；正确．
③∵x²+1≥1，所以其值域是[0，+∞)；不正确．
④作出函数y=2^|x|的图象，如图所示，正确．
⑤在同一坐标系中函数y=2^x与y=2^-x的图象情境如④，可知关于y轴对称．正确．
故答案为：②④⑤

50 . 在平面直角坐标系中，若点A、B同时满足
(1)点A、B都在函数y=f(x)的图象上；
(2)点A、B关于原点对称．则称点对(A，B)是函数y=f(x)的一个“姐妹点对”(规定点对(A，B)与点对(B，A)是同一个“姐妹点对”)．若函数f(x)=a^x-x-a(a＞0且a≠1)只有一个“姐妹点对”，则a的取值范围为          ．

【答案解析】a＞1
解：构建函数y=a^x(a＞0，且a≠1)和函数y=x+a，函数y=a^x(a＞0，且a≠1)关于原点对称的函数为y=-a^-x
∵函数f(x)=a^x-x-a(a＞0且a≠1)只有一个“姐妹点对”，
∴函数y=x+a与y=a^-x只有一个交点
∵a＞1时，y=a^-x单调减，与函数y=x+a图象只有一个交点；
0＜a＜1时，y=a^-x单调减，与函数y=x+a图象没有交点；
此时有a＞1；
故答案为a＞1．