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三角形全等

一.解答题 (共 9 小题)

1 . 如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．

【答案解析】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，
∴△CDA≌△CEB．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定证明即可．
【解答】证明：∵△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CE=CD，BC=AC，
∴∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA，
在△CDA与△CEB中，
∴△CDA≌△CEB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．

2 . 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D、E在BC边上(均不与点B、C重合，点D始终在点E左侧)，且∠DAE＝45°．
【小题1】(1)请在图①中找出两对相似但不全等的三角形，写在横线上      ，       ；
【小题2】(2)设BE＝m，CD＝n，求m与n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
【小题3】(3)如图②，当BE＝CD时，求DE的长；
【小题4】(4)求证：无论BE与CD是否相等，都有DE²=BD²+CE².

【答案解析】【小题1】(1)△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA，△BAE∽△CDA；(写出任意两对即可)
【小题2】(2)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，
由(1)知△BAE∽△CDA，
∴.
∴. ∴ ()
【小题3】(3)由(2)只BE·CD＝4，
∴BE＝CD＝2.
∴BD＝BC－CD＝.
∴DE＝BE－BD＝
【小题4】(4)如图，依题意，可以将△AEC绕点A顺时针旋转90°至△AFB的位置，
则FB＝CE，AF＝AE，∠1＝∠2，
∴∠FBD＝90°.
∴. ……………6分
∵∠3＋∠1＝∠3＋∠2＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE.
又∵AD＝AD，AF＝AE，
∴△AFD≌△AED.
∴DE＝DF. ………………………………………………………………………7分
∴

3 .

【答案解析】证明：∵AD=BF
∴AD+DF=BF+DF
∴AF=BD
∵AE∥BC
∴∠A=∠B
在△AEF与△BCD中
   AE=BC
∠A=∠B
AF=BD
∴△AEF≌△BCD(SAS)

4 . 如图8，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．

(1)求证：△AOB≌△COD；(4分)
(2)若AD＝1，BD＝2，求CD的长．(3分)

【答案解析】(1)证明略
(2)

5 . 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△DCB

【答案解析】

6 .

【答案解析】△AMC≌△BMD

7 . 如图，三点在同一条直线上，∥，         。求证：△ABC≌△CDE。

【答案解析】证明：∵∥
∴∠ACB=∠CED, ∠ACD=∠D
∵∠ACD=∠B
∴∠B=∠D
又∵AC=CE
∴△ABC≌△CDE

8 . 如图，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E。求证：点D在∠BAC的角平分线上。

【答案解析】证：在△DBE和△DCF中，所以△DBE≌△DCF(AAS)。

9 . 如图，梯形ABCD中，AD//BC，E为CD边的中点，F为AD延长线上一点，且满足DF+BF=BC.

(1)若∠A=90º，AD=3，AB=5，BC=9，求BE的长；
(2)求证：BE平分∠FBC.

【答案解析】(1)BE=;(2)见解析.