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2026数学第一章1

一.单选题 (共 16 小题)

1 . 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是(     )

A、2
B、3
C、5
D、6

【答案解析】C
分析：连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
解答：解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故选C．
 

2 . 已知抛物线：(为常数，且)的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为。若点是抛物线上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为(   )

A、
B、
C、
D、

【答案解析】A

3 . 如图，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若的最小值是，则AB长为

A、
B、1
C、2
D、3

【答案解析】C

4 . 如图，菱形ABCD中，∠A＝30°，若菱形FBCE与菱形ABCD关于BC所在的直线对称，则∠BCE的度数是

A、20°
B、30°
C、45°
D、60°

【答案解析】B

5 . 如图，在菱形中，则的值是

A、
B、
C、
D、

【答案解析】D

6 . 如图，AC是菱形ABCD的对角线，AE=EF=FC，则S_△BMN ：S_菱形ABCD的值是(   )

A、
B、
C、
D、

【答案解析】C

7 . 已知一个菱形的周长是，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是()

A、
B、
C、
D、

【答案解析】B

8 . 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =" NM" = 2，ME = 3，则AN =

A、3
B、4
C、5
D、6

【答案解析】B

9 . 如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为【   】

A、14
B、15
C、16
D、17

【答案解析】C

10 . 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为

A、78°
B、75°
C、60°
D、45°

【答案解析】B

11 . 矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)

A、两组对边分别平行
B、对角线相等
C、对角线互相平分
D、两组对角分别相等

【答案解析】B

12 . 下列命题中，假命题是【   】(     )

A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B、矩形的对角线相等
C、有两个角相等的梯形是等腰梯形
D、对角线相等的菱形是正方形

【答案解析】C

13 . 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100° 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为(　　)

A、25°或50°
B、20°或50°
C、40°或50°
D、40°或80°

【答案解析】C

14 . 如图，菱形和菱形的边长分别为和，，则图中阴影部分的面积是( ).

A、3
B、2
C、
D、

【答案解析】C

15 . 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(  )

A、对角线相等
B、对角线互相垂直
C、对角线互相平分
D、对角线平分一组对角

【答案解析】A

16 . 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )

A、对角相等
B、对角线互相平分
C、对边平行且相等
D、对角线互相垂直

【答案解析】D

二.填空题 (共 19 小题)

1 . 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按
ABCDEFGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只
蚂蚁停在        点．

【答案解析】C

2 . 菱形ABCD边长为4，点E在直线AD上，DE=3，联结BE与对角线AC交点M，那么的值是      .

【答案解析】或

3 . 如图5，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是________．

【答案解析】40

4 . 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，边长为2cm，E,F分别是边BC和对角线BD上两个动点，则EF＋CF的最小值为___________________________.

【答案解析】

5 . 在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD可能是   (只要写一种)．

【答案解析】矩形或等腰梯形

6 . 如图，菱形ABCD中，，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为     度.

【答案解析】15．

7 . 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右
作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的
操作菱形中心D所经过的路径总长为(结果保留)

【答案解析】(8，+4)

8 . 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；连接AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为         ．

【答案解析】()^n-1

9 . 如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是________________.

【答案解析】2.5

10 . 菱形的两条对角线的长分别是6和8，则它的周长为      ，面积为       ．

【答案解析】20；24．

11 . 如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为　   　．

【答案解析】－6

12 . 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AC、CD的中点，若EF的长是2cm，则菱形ABCD的周长是   _cm．

【答案解析】16

13 . 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm，ÐA=120°，则EF=       cm。

【答案解析】。

14 . 如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A₁B₁C₁D₁，然后再以矩形A₁B₁C₁D₁各边的中点为顶点作菱形A₂B₂C₂D₂，…，如此下去．则得到四边形A₂₀₀₉B₂₀₀₉C₂₀₀₉D₂₀₀₉的面积用含a、b的代数式表示为　_________．

【答案解析】

15 . 已知菱形的一个内角是60°，较短的一条对角线的长为2cm，则较长的一条对角线的长为     cm．

【答案解析】.

16 . 菱形ABCD中，若对角线长AC＝8cm，BD＝6cm．则边长AB＝       cm．

【答案解析】5.

17 . 若菱形两对角线长分别为和，则菱形面积________

【答案解析】1

18 . 菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形较小的内角为______度。

【答案解析】60°

19 . 如图，在菱形中，，,点在射线上，，如果 与射线相交于点，那么          ．

【答案解析】或

三.解答题 (共 15 小题)

1 . 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．

【答案解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．
【分析】(1)根据平行四边形的判定证明即可；
(2)利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．

2 . 已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．

【小题1】(1)求证：△ABE∽△DEA；
【小题2】(2)若AB=4，求的值．

【答案解析】【小题1】(1)证明：如图1．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∴．…………………………2分
又∵∠B=∠AED，
∴△ABE∽△DEA．
【小题2】(2)∵△ABE∽△DEA，
∴．…………………………………………………………………4分
∴．
∵四边形ABCD是菱形，AB = 4，
∴AB =DA = 4．
∴．

3 . 如图，菱形中，点是的中点，且⊥，．

求：(1)∠的度数；
(2)对角线的长；
(3)菱形的面积．

【答案解析】(1)120°  (2)   (3)

4 . 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请猜想，CE和CF的大小有什么关系？并证明你的猜想.

【答案解析】  理由见解析

5 . 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD=x，DF=y.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值；
(3)当△FED是直角三角形时，求x的值.

【答案解析】(1)；(2)40；(3)30.

6 . 如图，在菱形中，，是边的中点，是边上任一点(不与点重合)延长交的延长线于点，连结.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)当为何值时，四边形是矩形？请说明理由.

【答案解析】(1)证明见解析；(2)1，理由见解析.

7 . 如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；
(2)如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
(4)如图③，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？

【答案解析】(1)AE=t，AD=12-2t；(2)理由见解析；(3)3或；(4)4.

8 . 如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)试探究：当矩形ABCD边长满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

【答案解析】(1)证明见解析；(2)当BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．理由见解析.

9 . 如图，∴P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．

(1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．

【答案解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB。∠DAP=∠BAP。
∵在△APB和△APD中，，
∴△APB≌△APD(SAS)。
(2)①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC。
∴△AFP∽△CBP。∴。
∵DF：FA＝1：2，∴AF：BC＝3：3。∴。
由(1)知，PB=PD=x，又∵PF=y，∴。
∴，即ｙ与x的函数关系式为。
②当x＝6时，，∴。
∵DG∥AB，∴△DFG∽△AFB。∴。∴。
∴，即线段FG的长为5。

10 . 用一张长12cm宽5cm的矩形纸片折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(方案一),小丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(方案二).谁折出的菱形面积更大？请你通过计算说明.

【答案解析】小丰折出的菱形面积更大．

11 . 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动(B、D两点除外)，线段PA绕点P顺时针旋转m°(0＜m°＜180º) 得线段PQ.
 
(1)当点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若点Q落在边CD上(C点除外)，且∠ADB=n°.
①探究m与n之间的数量关系；
②当点P在线段OB上运动时，存在点Q，使PQ=QD，直接写出n的取值范围.

【答案解析】(1)如下图；(2)m+2n=180；(3)30≤n＜45

12 . 如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，菱形ABCD的周长是20，．

(1)求AC的长；
(2)求菱形ABCD 的高的长。

【答案解析】(1)8；(2)

13 . 11·西宁)(本小题满分8分)如图12 ，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

(1)求证：四边形AODE是菱形；
(2)．若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，
其余条件不变，则四边形AODE是_  ▲  ．

【答案解析】

14 . 如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　_________　；
②当菱形的“接近度”等于　_________　时，菱形是正方形．
(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b)，将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

【答案解析】(1)①40  ②0 (2)不合理．理由见解析

15 . 知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装(上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图)
实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形(宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6)，体积为0.3立方米．
①按方案1(如图)做一个纸箱，需要矩形硬纸板的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2(如图)的菱形硬纸板做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．

【答案解析】设纸箱底面长为x，则宽为0.6x；
由题意：，得                                
①由题意：矩形硬纸板的面积是3×2.2=6.6平方米；   
②连接A₂C₂、B₂D₂，

由△D₂EF和△D₂MQ相似，可求出D₂到EF的距离为0.4；
同理可求A₂到MN的距离为；   
所以A₂C₂=，B₂D₂=3；
菱形硬纸板的面积是5.625平方米；                   
所以方案2更优；